【题目】数学思想与物理问题的内在联系——论构建世界的理论基石

【摘要】：本文通过对历史上具有深刻影响的物理问题与数学思想所存在的内在联系的探讨，揭示出存在这种内在联系的原因正是由于现实物质世界的时空本性所决定的。同时，对比计算机虚拟世界与现实物质世界，进一步提出利用时空的数理本性构建世界的可能。

【关键词】：数学   物理学  时空  虚拟与现实

一、引   子

从传统上讲，数学和物理从古希腊时代开始就难分难解。可以说从一开始，物理学科中的各种物理问题的研究就处处于与数学保持着千丝万缕的联系。从17世纪牛顿创立经典力学，到19世纪麦克斯韦的电磁场理论，再到20世纪爱因斯坦提出相对论，以及德布罗意、薛定谔、海森伯、玻恩、狄拉克等人建立的量子力学，每一次物理理论上的飞越都无不渗透着数学思想的闪光。我们不禁会问：“为什么每一次对自然界的现象和结构做出新的解释，都会要用到异乎寻常的数学作为基础？这难道仅仅是因为巧合吗？还是两者之间存在着我们尚未发现的必然联系？”纵观数学与物理学历史上种种相互契合的现象，我更愿意相信后者。

二、数学与物理的本质

我们知道，对任何一门学科的理解，单有这门学科的具体知识是不足的，那怕你对这门学科的知识掌握得足够丰富。还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。所以在讨论数学思想与物理问题的内在联系之前，我们有必要先从数学与物理这两大学科的本质入手，从整体上先对数学与物理学有一个初步的了解。

首先，我们发现数学与物理学都是人类在研究现实世界（即自然界）时诞生的。其诞生的目的都是为了能使我们能更好的认识和改造现实世界。不同的是“物理学研究的是现实世界中存在的各种主要基本形式，它们的性质、运动和转化以及内部结构，探索这种结构的组元及其相互作用、运动和转化的基本规律，它是自然科学中同自然界的基本规律关系最为直接的一门学科。”［1］很多物理问题的提出都是直接来源于现实世界的各种现象。纵观整个物理学的体系，我们可以发现，“其实物理学最终可以说是建立在一小组物理原理之上。这些原理通常可以用简单的语言来表达，不需要援引数学。从哥白尼理论到牛顿运动定律，乃至爱因其坦相对论，这些基本物理原理都可以只用寥寥数语来表达，基本上与任何数学无关。而且值得注意的是，仅仅少数几个基本的物理原理就是以概括大多数现代物理学。” ［2］

其次，数学则是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门学科。它在很多方面并不是直接来自现实世界中的现象。而更多的满足于数学自身的一整套自洽的逻辑结构。抽象性是其一大特点，而且在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切；数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超越了其它学科中的一般抽象，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果说物理学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需要用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的思辨的。从某种意义来说今天的数学更多的是满足于数学自身的一套体系，而与现实世界的联系变得相对较弱一些。

这样，从两大学科的本质来看，数学与物理应该有着一些本质上的不同。它们有着其各自的目的与特点；它们有着性质截然不同的判断标准；它们有着不同的传统。但是在基本概念的层次上它们却令人惊异的共用着一些概念，且每每新的物理问题发现之后，在解决这些问题时都神奇的与某种异乎寻常的数学理论联系起来。

三、联   系

量子理论的创立者之一，物理学家狄拉克认为：“假如我们仅仅用物理思想去探究其本身，那么数学可以在我们没有抓住的方向上引导我们。”数学家怀特海（Alfred North Whitehead）也曾说：“数学在深层次上跟深层次上的物理学不可分离”。爱因斯坦在谈论纯数学可能是解决物理学奥秘的一条途径时说：“我坚信，纯数学结构使我们能够发现连接它们的概念和定律，而这些概念和定律是我们认识自然的关键。……因此，在某种意义上，我认为纯思想可以抓住实在，就像古代人梦想的那样。”我们会发现无数的数学家和物理学家在系统的研究了各自的学科问题之后都无不惊叹于这种数学思想与物理问题相互契合的趋同现象。“数学与物理学似乎都遵循某种辩证关系。物理学不光是一连串无目标的，随机的费恩曼图和对称性，数学也不光是一组凌乱的方程，而是两者之间遵循着一种确定的共生关系。现在，似乎物理学（建立在物理原上）和数学（建立在自治结构上）之间的关系存在着这样的事实：为了解决现实世界中的物理原理，物理学家们可能需要许多自洽的结构。因此，物理学自动统一了许许多多各种各样的数学分支。”[3]用这种眼光来观察，我们就能理解理论物理学中的很多问题都与数学思想形成了令人惊叹的契合现象。例如，数学家和物理学家都宣称牛顿是他们各自同行中的巨人之一。然而，牛顿并不是直接从数学出发来研究引力的。对落体运动的分析，使他相信月球正在不断落向地球，但是月球永远不会与地球相撞，因为地球在它下面是弯曲的，地球的弯曲补偿了月球的降落。因此，这促使他假设了一个物理原理：万有引力定律。

但是，牛顿无法求解这些引力方程，因此他开始了为期30年的探索，为的是从头开始创立一种数学，它的作用大到足以计算这些方程。在这个过程中，他发现了许多自洽结构，它们统称为微积分。在这种观点看来，物理原理首先诞生（万有引力定律），接着解决这个定律所必需的各种自治结构被建立起来（如解析几何、微分方程、微分和积分）。在这一过程中，物理原理把这些自洽结构统一为一个一致的数学体（微积分）。

同样的关系亦适用于爱因斯坦的相对论。爱因斯坦从物理问题（如光速不变和引力等效原理）出发，然后通过搜寻数学文献找到了允许他计算这些原理的自洽结构（李群，黎曼张量微积分和微分几何）。在这个过程中，爱因斯坦发现了如何把这些数学分支跟一个一致的绘景联系起来。

到了1925年，量子力学出现了，这时又要引用另一个新的数学观念。在那以前没有一个数学家，也没有一个物理学家想到会把这个数学观念引用到物理中来。这个数学观念就是希尔伯特（Hilbert）空间。希尔伯特空间引用到量子力学的经过也是很有意思。写下量子力学公式的是海森伯，他的数学修养不高，当时写出式子来时，他不但没有听说过希尔伯特空间，就连远远没有希尔伯特空间奥妙的数学概念——矩阵也没有听说过。这又一次证明：一些基本的物理观念是物理学发展中非常重要的部分。不过在他的方向上继续发展下去是很难的，所以量子力学没有能马上大大发展。后来一些别的物理学家搞清了海森伯所讲的事情可以用希尔伯特空间来描述，并将其引入到量子力学当中，量子力学才大大地发扬光大起来。

70年代物理学家们又提出了规范场的概念，并试图用这一理论来统一基本粒子之间的四种相互作用（即强相互作用，电磁相互作用，弱相互作用和引力相互作用），毫无疑问的，这个理论也奇迹般地将一种全新的数学引入了进来。这个数学思想就叫做纤维丛。而且数学家在当时研究纤维丛已经有四十年了，他们想法的起源与实际的物理现象是一点关系也没有的。物理学上规范场的观念则是从电磁学来的。而电磁学又是由四个主要实验总结出来的，是过实验，得出四个定律，这四个定律由麦克斯韦把它数学化。把这个数学化的观念再去想一下，最后得到了普遍的规范场的想法。[4]这些想法每一步，都是因为想把物理现象用数学语言描述出来这个基本要求促使理论物理学家们这样做的，最后却是实现了纤维丛这一数学思想的引入。

直到现代物理前沿之一的弦理论也证实了这种数学思想与物理问题相互契合的模式。由于弦理论是一套关于高维空间的理论，因此这套理论的数学性显得比较复杂，它正在用一种令数学家吃惊的方式把有天壤这别的数学分支（如黎曼表面，有限群，模函数和代数拓扑学）联系到一起。跟其他物理理论一样，它自动揭示了许多不同自洽结构间的关系。然而，弦理论背后的基本物理原理尚属求知。物理学家希望一旦这个原理被揭示出来，新的数学的分支在这个过程中将会被发现。这种表述的一个结果是，统一许多小物理理论的物理原理，必须自动统一许多貌似不相干的数学分支，这正是弦理论所完成的。或许我们可以预期物理学家寻求统一的过程，最终将成为一套自洽数学结构的统一。 现在，我们发现了物理学中几乎所有的基本概念都能被纳入到一些深刻数学概念的框架：（如下表）经典力学 微积分
电磁学 微分方程哈密顿（W;Hamilton）系统
狭义相对论 四维时空
广义相对论 黎曼几何
量子力学 希尔伯特空间
规范场论 纤维丛（连同拓扑复形）
（注：这个表中还未包括数学作为求解物理学中数学问题的工具等具体应用）但为什么会出现这种物理学与数学相互契合趋同的现象呢？这让我们不得不思考这种现象背后所暗藏的秘密。

四、联系背后的秘密

要回答为什么数学思想与物理问题会存在如此深刻的内在联系，我们还得从这两门学科的本质入手。正如前面谈到的，两门科学的起源都是来自于我们人类对现实世界的研究和探索。不同的是物理概念和原理更多是来自对现实世界物理现象的认识，而数学则是更多是满足于一套由现实世界中的数量关系与空间形式所抽象出来的自洽逻辑结构。我们应该如何来看这种来源于现象与来源于自洽结构的学科间所存在的深刻联系呢？于是我有了下面的假设：

或许我们的现实世界就构建在一套基本的数学结构之上，现实世界的时空本性就是一套自洽的数学结构，在这个数学结构之上形成了我们的物理原理。而正是由于现实世界的这种数理本性，才导致了起源于对它进行认识的两门学科，虽然有其各自的目的与特点，有性质不同的判断标准，但却在深层次上达到了一种相互契合与相互交 。换句话说，数理就是构建我们真实世界的理论基石。

当然有了假设就需要有证明，而要证明这个假设唯一最为直接的论证就是找到构建我们现实世界的那套数理结构。但遗憾的是现在我们还没有找到那套数理结构。那是否就无法证明这个假设了呢？答案也不是绝对的。通过对比今天的计算机虚拟技术，我认为能够找到对这一假设正确性的一种说明。虽然这不能算做是这一假设的严格证明，但却可以视为是对这一假设的一种实验性证据。

以目前的计算机虚拟技术应用得最为广泛的大型三维网络游戏为例子。我们可以在计算机中构建出一个逼真的虚拟世界，在这个虚拟世界中我们定义了空间的维度，并模拟了时间及天气系统。可以看到被风吹动的树木花草和各式各样的物种，我们虚拟了现实世界中存在和不存在的各种事物，而它们看上去都是如此的真实。在这个虚拟世界中同样有着一套基本的物理原理，它们使这虚拟世界的人和物都按照这套被我们所定义的物理原理所运行。一切看上去都是那么理所当然。但只要我们仔细想一想这个世界是如何被构建起来的一切就都会明了起来。

我们是用多套设计软件来构建了这样一个虚拟世界，而计算机设计软件则是应用一套计算机语言编译的。计算机语言的本质是什么？计算机语言的本质就是一套以二进制（即0、1）形式为基础的自洽的数学逻辑结构，我们正是用这套数学逻辑结构构建了这样的虚拟世界。正是这样一套自洽的数学结构和我们在此基础上定义的虚拟世界的物理原理成就了这样一个栩栩如生的世界。这正与我们前面提出的假设相符。

五、结   语

古希腊物理学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬起地球。”那么，明天我们或许可以说：“给我一套自洽的数理结构，我可以构建起一个世界。”

参考文献：

[1] 谢希德 主编 .《自然科学简明手册》.上海：上海文艺出版社. 1996.11  P211
[2][3]（美）加来道雄（Kaku，M.）著；刘玉玺，曹志良 译 .《超越时空：通过平行宇宙、时间卷曲和第十纬度的科学之旅》.上海：上海科技教育出版社 .1999.5  P382  P383
[4] （美）杨振宁 著；杨建邺 选编 .《杨振宁文录》.海口：海南出版社.2002.7 P195